正方形ABCDの中に、面積がそれぞれ27cm$^2$、12cm$^2$、6cm$^2$の正方形EBFG、HFIJ、KICLがある。 (1) 正方形ABCDの一辺の長さを求める。 (2) 正方形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDの中に、面積がそれぞれ27cm$^2$、12cm$^2$、6cm$^2$の正方形EBFG、HFIJ、KICLがある。

(1) 正方形ABCDの一辺の長さを求める。

(2) 正方形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

正方形EBFGの一辺の長さは、$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ cm

正方形HFIJの一辺の長さは、$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ cm

正方形KICLの一辺の長さは、$\sqrt{6}$ cm

正方形ABCDの一辺の長さは、正方形EBFG、HFIJ、KICLの一辺の長さを足し合わせたものであるから、

$3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6} = 5\sqrt{3} + \sqrt{6}$ cm

(2)

正方形ABCDの面積は、一辺の長さの二乗であるから、

$(5\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (5\sqrt{3})^2 + 2(5\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 25 \times 3 + 10\sqrt{18} + 6 = 75 + 10\sqrt{9 \times 2} + 6 = 75 + 10 \times 3\sqrt{2} + 6 = 81 + 30\sqrt{2}$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{3} + \sqrt{6}$ cm

(2) $81 + 30\sqrt{2}$ cm$^2$