2直線 $8x + 7y - 19 = 0$ と $3x - 5y + 6 = 0$ の交点と点 $(-4, 1)$ を通る直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $8x + 7y - 19 = 0$ と $3x - 5y + 6 = 0$ の交点と点 $(-4, 1)$ を通る直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求めます。

$8x + 7y - 19 = 0$ ... (1)

$3x - 5y + 6 = 0$ ... (2)

(1) * 5 + (2) * 7 を計算します。

$40x + 35y - 95 + 21x - 35y + 42 = 0$

$61x - 53 = 0$

$61x = 53$

$x = \frac{53}{61}$

次に、$x = \frac{53}{61}$ を (2) に代入して $y$ を求めます。

$3 * \frac{53}{61} - 5y + 6 = 0$

$\frac{159}{61} - 5y + 6 = 0$

$5y = \frac{159}{61} + 6 = \frac{159 + 366}{61} = \frac{525}{61}$

$y = \frac{525}{61 * 5} = \frac{105}{61}$

したがって、2直線の交点は $(\frac{53}{61}, \frac{105}{61})$ です。

次に、この交点 $(\frac{53}{61}, \frac{105}{61})$ と点 $(-4, 1)$ を通る直線の方程式を求めます。

直線の傾きを $m$ とすると、

$m = \frac{1 - \frac{105}{61}}{-4 - \frac{53}{61}} = \frac{\frac{61 - 105}{61}}{\frac{-244 - 53}{61}} = \frac{-44}{-297} = \frac{44}{297} = \frac{4}{27}$

直線の方程式は $y - 1 = \frac{4}{27} (x + 4)$ となります。

$27(y - 1) = 4(x + 4)$

$27y - 27 = 4x + 16$

$4x - 27y + 43 = 0$

3. 最終的な答え

$4x - 27y + 43 = 0$