$\angle{A}$ が直角である直角二等辺三角形 $ABC$ の3つの辺 $BC$, $CA$, $AB$ を $2:1$ に内分する点を、それぞれ $L$, $M$, $N$ とするとき、$AL \perp MN$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$\angle{A}$ が直角である直角二等辺三角形 $ABC$ の3つの辺 $BC$, $CA$, $AB$ を $2:1$ に内分する点を、それぞれ $L$, $M$, $N$ とするとき、$AL \perp MN$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

直角二等辺三角形 $ABC$ を座標平面上に配置する。

点 $A$ を原点 $(0,0)$ に、点 $B$ を $(3,0)$ に、点 $C$ を $(0,3)$ に配置する。

このとき、$AB=AC=3$ である。

$BC$ の方程式は $x+y=3$ である。

点 $L$, $M$, $N$ の座標を求める。

$L$ は $BC$ を $2:1$ に内分する点なので、

$L = \frac{1 \cdot B + 2 \cdot C}{2+1} = \frac{1}{3}(3,0) + \frac{2}{3}(0,3) = (1,2)$

$M$ は $CA$ を $2:1$ に内分する点なので、

$M = \frac{1 \cdot C + 2 \cdot A}{2+1} = \frac{1}{3}(0,3) + \frac{2}{3}(0,0) = (0,1)$

$N$ は $AB$ を $2:1$ に内分する点なので、

$N = \frac{1 \cdot B + 2 \cdot A}{2+1} = \frac{1}{3}(3,0) + \frac{2}{3}(0,0) = (1,0)$

ベクトル $\vec{AL}$ は、

$\vec{AL} = L - A = (1,2) - (0,0) = (1,2)$

ベクトル $\vec{MN}$ は、

$\vec{MN} = N - M = (1,0) - (0,1) = (1,-1)$

内積 $\vec{AL} \cdot \vec{MN}$ を計算する。

$\vec{AL} \cdot \vec{MN} = (1)(1) + (2)(-1) = 1 - 2 = -1$

もし $\vec{AL} \cdot \vec{MN} = 0$ ならば、$AL \perp MN$ となる。

しかし、今回は $\vec{AL} \cdot \vec{MN} = -1 \neq 0$ である。

$B$ を$(a, 0)$, $C$ を$(0, a)$ とする。

$L = \frac{1}{3}(a, 0) + \frac{2}{3}(0, a) = (\frac{a}{3}, \frac{2a}{3})$

$M = \frac{1}{3}(0, a) + \frac{2}{3}(0, 0) = (0, \frac{a}{3})$

$N = \frac{1}{3}(a, 0) + \frac{2}{3}(0, 0) = (\frac{a}{3}, 0)$

$\vec{AL} = (\frac{a}{3}, \frac{2a}{3})$

$\vec{MN} = (\frac{a}{3}, -\frac{a}{3})$

$\vec{AL} \cdot \vec{MN} = (\frac{a}{3})(\frac{a}{3}) + (\frac{2a}{3})(-\frac{a}{3}) = \frac{a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = -\frac{a^2}{9}$

問題文に誤りがある可能性が高い。$AL \perp MN$ は成り立たない。

$\angle{A}$が直角な二等辺三角形 $ABC$ で $AB=AC=3$とする。

$L,M,N$を$BC,CA,AB$をそれぞれ$2:1$に内分する点とする。

$A=(0,0), B=(3,0), C=(0,3)$

$L=(1,2), M=(0,1), N=(1,0)$

このとき、$AL$ の傾きは $2$、$MN$ の傾きは $-1$。よって $AL \perp MN$ ではない。

3. 最終的な答え

$AL \perp MN$ は成り立たない。問題文に誤りがある可能性があります。