図の直角三角形ABCを用いて、$0 < x < 1$ のとき、次の等式を証明する問題です。 $\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$

1. 問題の内容

図の直角三角形ABCを用いて、$0 < x < 1$ のとき、次の等式を証明する問題です。

$\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$

2. 解き方の手順

直角三角形ABCにおいて、$BC = \sqrt{1-x^2}, AC = x, AB = 1$である。

角ABCを$y$とおくと、

$\sin y = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{1} = x$

したがって、

$y = \sin^{-1}x$

また、

$\cos y = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2}$

したがって、

$y = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$

以上より、

$\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$

が証明できた。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$

（証明終わり）