与えられた円と直線について、位置関係（交わる、接する、交わらない）を調べ、もし共有点があればその座標を求める。具体的には、以下の3つの問題がある。 (1) 円: $x^2 + y^2 = 10$、直線: $y = -x + 2$ (2) 円: $x^2 + y^2 = 5$、直線: $x - 2y = 5$ (3) 円: $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$、直線: $y = 2x - 1$

1. 問題の内容

与えられた円と直線について、位置関係（交わる、接する、交わらない）を調べ、もし共有点があればその座標を求める。具体的には、以下の3つの問題がある。

(1) 円: $x^2 + y^2 = 10$、直線: $y = -x + 2$

(2) 円: $x^2 + y^2 = 5$、直線: $x - 2y = 5$

(3) 円: $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$、直線: $y = 2x - 1$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解く。

(1) 直線の式を円の式に代入し、$x$に関する2次方程式を得る。

(2) その2次方程式の判別式$D$を計算する。

(3) 判別式$D$の符号によって、円と直線の位置関係を判断する。

- $D > 0$ のとき、円と直線は異なる2点で交わる。

- $D = 0$ のとき、円と直線は接する。

- $D < 0$ のとき、円と直線は交わらない。

(4) 共有点がある場合は、2次方程式を解いて$x$座標を求め、直線の式に代入して$y$座標を求める。

(1) 円: $x^2 + y^2 = 10$、直線: $y = -x + 2$

$x^2 + (-x + 2)^2 = 10$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 > 0$

よって、円と直線は異なる2点で交わる。

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$のとき、$y = -3 + 2 = -1$

$x = -1$のとき、$y = -(-1) + 2 = 3$

共有点の座標は $(3, -1), (-1, 3)$

(2) 円: $x^2 + y^2 = 5$、直線: $x - 2y = 5$ より $x = 2y + 5$

$(2y + 5)^2 + y^2 = 5$

$4y^2 + 20y + 25 + y^2 = 5$

$5y^2 + 20y + 20 = 0$

$y^2 + 4y + 4 = 0$

$(y + 2)^2 = 0$

判別式 $D = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

よって、円と直線は接する。

$y = -2$

$x = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$

接点の座標は $(1, -2)$

(3) 円: $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$、直線: $y = 2x - 1$

$x^2 + (2x - 1)^2 - 4x + 2(2x - 1) + 4 = 0$

$x^2 + 4x^2 - 4x + 1 - 4x + 4x - 2 + 4 = 0$

$5x^2 - 4x + 3 = 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(5)(3) = 16 - 60 = -44 < 0$

よって、円と直線は交わらない。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2点で交わる。共有点の座標は $(3, -1), (-1, 3)$

(2) 接する。接点の座標は $(1, -2)$

(3) 交わらない。