四角形ABCDにおいて、$AB = CD$であり、辺AD, BC, BDの中点をそれぞれE, F, Gとする。このとき、三角形EFGはどのような三角形になるか。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB = CD$であり、辺AD, BC, BDの中点をそれぞれE, F, Gとする。このとき、三角形EFGはどのような三角形になるか。

2. 解き方の手順

まず、中点連結定理を利用します。

三角形ABDにおいて、EとGはそれぞれ辺ADとBDの中点なので、線分EGは辺ABに平行で、その長さはABの半分です。

$EG = \frac{1}{2} AB$

次に、三角形BCDにおいて、FとGはそれぞれ辺BCとBDの中点なので、線分FGは辺CDに平行で、その長さはCDの半分です。

$FG = \frac{1}{2} CD$

問題文より、$AB = CD$なので、

$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$

したがって、$EG = FG$

よって、三角形EFGは二等辺三角形であることがわかります。

次に、EGとFGのなす角について考えます。EGはABに平行で、FGはCDに平行です。また、$AB = CD$であることから、四角形ABCDは等脚台形であるとは限りません。したがって、EGとFGは直交するとは限りません。しかし、$AB=CD$であることから、EGとFGが直交する場合も考えられます。

E, F, G が一直線上にないこと、EG = FG であることから、三角形 EFG は二等辺三角形です。

さらに、EG と FG が垂直である場合を考えると、三角形EFGは直角二等辺三角形になる可能性があります。

3. 最終的な答え

ウ 直角二等辺三角形