四面体OABCと点Pについて、$10\vec{OP} + 5\vec{AP} + 9\vec{BP} + 8\vec{CP} = \vec{0}$ が成立している。 (1) 点Pがどのような位置にあるか求めよ。 (2) 四面体OABC, PABCの体積をそれぞれ$V_1$, $V_2$とするとき、$V_1 : V_2$を求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCと点Pについて、$10\vec{OP} + 5\vec{AP} + 9\vec{BP} + 8\vec{CP} = \vec{0}$ が成立している。

(1) 点Pがどのような位置にあるか求めよ。

(2) 四面体OABC, PABCの体積をそれぞれ$V_1$, $V_2$とするとき、$V_1 : V_2$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を変形する。

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$

$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB}$

$\vec{CP} = \vec{OP} - \vec{OC}$

これらを元の式に代入する。

$10\vec{OP} + 5(\vec{OP} - \vec{OA}) + 9(\vec{OP} - \vec{OB}) + 8(\vec{OP} - \vec{OC}) = \vec{0}$

$(10+5+9+8)\vec{OP} = 5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}$

$32\vec{OP} = 5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}$

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{32}$

$\vec{OP} = \frac{32}{32} (\frac{5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{32})$

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{5+9+8+10}$

ここで、$5+9+8=22$とおくと、

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{22} \cdot \frac{22}{32}$

点Dを $\vec{OD} = \frac{9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{9+8}$ を満たす点とすると、点Dは線分BCを8:9に内分する点である。

さらに、点Eを $\vec{OE} = \frac{9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{17}$とすると、

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA}+17\vec{OE}}{32}$

点Fを $\vec{OF} = \frac{9\vec{OB}+8\vec{OC}}{17} = \frac{17}{17}$ を満たす点とすると、

点Fは線分BCを8:9に内分する点Eとして考えてよい。

また点Qを $\vec{OQ} = \frac{5\vec{OA} + 17\vec{OE}}{5+17}$ を満たす点とすると、点Qは線分AEを17:5に内分する点である。

$\vec{OP} = \frac{22}{32} \cdot \frac{5\vec{OA}+9\vec{OB}+8\vec{OC}}{22} = \frac{11}{16} \cdot \frac{5\vec{OA} + 17 \vec{OE}}{22}$

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA} + 9\vec{OB} + 8\vec{OC}}{32} = \frac{22}{32}\frac{5\vec{OA}+17\vec{OE}}{22}$

点Eを線分BCを8:9に内分する点とする。線分AEを22:10に内分する点がPである。

ここで、点Dを線分BCを8:9に内分する点とすると

$\vec{OD} = \frac{9\vec{OB}+8\vec{OC}}{17}$

$\vec{OP} = \frac{5\vec{OA}+17\vec{OD}}{32}$

点Pは線分ADを17:5に内分する点である。

(2)

四面体OABCの体積を$V_1$とすると、四面体PABCの体積$V_2$は、

$V_2 = |\frac{-10}{5}| V_1$

$10\vec{OP} + 5\vec{AP} + 9\vec{BP} + 8\vec{CP} = \vec{0}$より、

$10\vec{OP} = -5\vec{AP}-9\vec{BP}-8\vec{CP}$

四面体OABCの体積を$V_1$, 四面体PABCの体積を$V_2$とする。

$V_2 = \frac{10}{32}V_1$となる。

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}$

$V_1 : V_2 = 16:5$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは線分ADを17:5に内分する点である。ただし、点Dは線分BCを8:9に内分する点である。

(2) $V_1 : V_2 = 16 : 5$