3点 $(1, 1)$, $(5, -1)$, $(-3, -7)$ を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 $(1, 1)$, $(5, -1)$, $(-3, -7)$ を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

この円が与えられた3点を通るので、それぞれの点の座標を代入して3つの式を得る。

(1) $(1, 1)$ を代入すると:

$1^2 + 1^2 + l(1) + m(1) + n = 0$

$1 + 1 + l + m + n = 0$

$l + m + n = -2$ (1)

(2) $(5, -1)$ を代入すると:

$5^2 + (-1)^2 + l(5) + m(-1) + n = 0$

$25 + 1 + 5l - m + n = 0$

$5l - m + n = -26$ (2)

(3) $(-3, -7)$ を代入すると:

$(-3)^2 + (-7)^2 + l(-3) + m(-7) + n = 0$

$9 + 49 - 3l - 7m + n = 0$

$-3l - 7m + n = -58$ (3)

(1), (2), (3) の連立方程式を解く。

(2) - (1) より:

$(5l - m + n) - (l + m + n) = -26 - (-2)$

$4l - 2m = -24$

$2l - m = -12$ (4)

(3) - (1) より:

$(-3l - 7m + n) - (l + m + n) = -58 - (-2)$

$-4l - 8m = -56$

$l + 2m = 14$ (5)

(4) - 2 * (5) より:

$(2l - m) - 2(l + 2m) = -12 - 2(14)$

$2l - m - 2l - 4m = -12 - 28$

$-5m = -40$

$m = 8$

(5) に $m = 8$ を代入すると:

$l + 2(8) = 14$

$l + 16 = 14$

$l = -2$

(1) に $l = -2$ と $m = 8$ を代入すると:

$-2 + 8 + n = -2$

$6 + n = -2$

$n = -8$

したがって、$l = -2$, $m = 8$, $n = -8$ である。

円の方程式は $x^2 + y^2 -2x + 8y - 8 = 0$ となる。

平方完成して、円の中心と半径を求める。

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 8y) = 8$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 8y + 16) = 8 + 1 + 16$

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

中心は $(1, -4)$ で、半径は $5$ である。

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

または

$x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$