1辺が10cmの正方形ABCDに内接する正方形EFGHについて、以下の問いに答える。ただし、正方形EFGHの頂点は正方形ABCDの頂点に重ならないものとする。 (1) AH = x (cm)とし、正方形EFGHの面積を y cm² とするとき、yをxで表し、xのとりうる値の範囲を求める。 (2) 正方形EFGHの面積の最小値を求める。

1. 問題の内容

1辺が10cmの正方形ABCDに内接する正方形EFGHについて、以下の問いに答える。ただし、正方形EFGHの頂点は正方形ABCDの頂点に重ならないものとする。

(1) AH = x (cm)とし、正方形EFGHの面積を y cm² とするとき、yをxで表し、xのとりうる値の範囲を求める。

(2) 正方形EFGHの面積の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、図よりDH = 10 - x である。

三角形AEHと三角形DGHは合同な直角三角形なので、EHの長さを求める。三平方の定理より、

$EH^2 = AH^2 + AE^2 = x^2 + (10-x)^2$

$EH^2 = x^2 + 100 - 20x + x^2 = 2x^2 - 20x + 100$

$y = EH^2$ なので

$y = 2x^2 - 20x + 100$

次に、xのとりうる値の範囲を求める。正方形EFGHの頂点が正方形ABCDの頂点に重ならないという条件から、 $0 < x < 10$ である。

(2)

yをxで表した式を平方完成する。

$y = 2x^2 - 20x + 100 = 2(x^2 - 10x) + 100$

$y = 2(x^2 - 10x + 25 - 25) + 100 = 2((x-5)^2 - 25) + 100$

$y = 2(x-5)^2 - 50 + 100 = 2(x-5)^2 + 50$

したがって、$x = 5$ のとき、yは最小値50をとる。xの範囲は $0 < x < 10$ であるので、$x=5$ はこの範囲に含まれている。

3. 最終的な答え

(1)

$y = 2x^2 - 20x + 100$

$0 < x < 10$

(2)

50 cm²