円形の文字盤に1から12までの整数が書かれた時計がある。円の直径の両端にある2つの整数について、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差がある整数の倍数になることを証明する問題。アからエに当てはまる式や数を答える。

1. 問題の内容

円形の文字盤に1から12までの整数が書かれた時計がある。円の直径の両端にある2つの整数について、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差がある整数の倍数になることを証明する問題。アからエに当てはまる式や数を答える。

2. 解き方の手順

まず、小さい方の数を $n$ とすると、大きい方の数は直径の反対側にあるので、$n+6$ となる (ア)。

大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差は、$(n+6)^2 - n^2$ で表される。

$(n+6)^2 - n^2 = n^2 + 12n + 36 - n^2 = 12n + 36$ となる (イ、ウ)。

$12n + 36 = 12(n+3)$ と因数分解できる (エ)。

$n$ は整数なので、$n+3$ も整数である。したがって、$12(n+3)$ は $12$ の倍数である。

よって、文字盤の円の直径の両端にある2つの整数について、大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗を引いた差は、つねに $12$ の倍数になる。

3. 最終的な答え

ア: $n+6$

イ: $12$

ウ: $36$

エ: $n+3$