与えられたテキストでは、円の方程式 $x^2 + y^2 = 2y$ が、中心が (0, 1) で半径が 1 の円 $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$ を表していると述べられています。また、この円が原点を通るため、パラメータ $\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ となることが示唆されています。

1. 問題の内容

与えられたテキストでは、円の方程式 $x^2 + y^2 = 2y$ が、中心が (0, 1) で半径が 1 の円 $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$ を表していると述べられています。また、この円が原点を通るため、パラメータ $\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ となることが示唆されています。

2. 解き方の手順

与えられた円の方程式を標準形に変形してみましょう。

$x^2 + y^2 = 2y$

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは、中心が (0, 1) で半径が 1 の円を表しています。

次に、この円が原点 (0, 0) を通ることを確認しましょう。円の方程式に x = 0, y = 0 を代入すると、

$0^2 + (0 - 1)^2 = 1$

$0 + 1 = 1$

$1 = 1$

となり、原点はこの円上にあることがわかります。

極座標表示において、$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ です。この円は原点を通るため、$\theta$ の範囲は角度が0から$\pi$までを動く範囲となります。

3. 最終的な答え

与えられた円 $x^2 + y^2 = 2y$ は、中心 (0, 1)、半径 1 の円を表し、原点を通ります。したがって、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ となります。