問題は、不等式 $0 \le r^2 \le 2r\sin\theta$ と、$r > 0$ の条件から $0 \le r \le 2\sin\theta$ が導かれることを示し、さらに $2\sin\theta \ge 0$ という条件と $-\pi \le \theta \le \pi$ の条件から、$0 \le \theta \le \pi$ が導かれることを示すことです。

1. 問題の内容

問題は、不等式 $0 \le r^2 \le 2r\sin\theta$ と、$r > 0$ の条件から $0 \le r \le 2\sin\theta$ が導かれることを示し、さらに $2\sin\theta \ge 0$ という条件と $-\pi \le \theta \le \pi$ の条件から、$0 \le \theta \le \pi$ が導かれることを示すことです。

2. 解き方の手順

まず、$0 \le r^2 \le 2r\sin\theta$ の不等式から、$0 \le r \le 2\sin\theta$ を導きます。

$r > 0$ なので、$0 \le r^2 \le 2r\sin\theta$ の各辺を $r$ で割ることができます。

$0 \le r \le 2\sin\theta$

次に、$2\sin\theta \ge 0$ の条件と $-\pi \le \theta \le \pi$ の条件から、$0 \le \theta \le \pi$ を導きます。

$2\sin\theta \ge 0$ ということは、$\sin\theta \ge 0$ であることを意味します。$\sin\theta$ が0以上になる範囲は、単位円上で考えると、$0 \le \theta \le \pi$ となります。与えられた条件$-\pi \le \theta \le \pi$ と合わせて考えると、$\theta$ の範囲は$0 \le \theta \le \pi$となります。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta \le \pi$