底面の半径が $a$ で高さも $a$ である直円柱がある。この円柱を、底面の直径ABを含み底面と45度の傾きをなす平面で切断し、2つの立体に分ける。小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が $a$ で高さも $a$ である直円柱がある。この円柱を、底面の直径ABを含み底面と45度の傾きをなす平面で切断し、2つの立体に分ける。小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円柱座標系を導入する。底面の中心を原点とし、底面内のABと平行な方向をx軸、それと垂直な方向をy軸、高さをz軸とする。このとき、円柱は $x^2+y^2 \le a^2$ かつ $0 \le z \le a$ で表される。

次に、切断面の方程式を求める。切断面はABを含むので、x軸に平行な線を含んでいる。また、底面と45度の傾きをなすので、$z = y+a$ で表される。

小さい方の立体の体積は、円柱の底面上で積分を行い、高さの範囲を $0$ から $y+a$ までとする。

$$V = \iint_D (y+a) \, dx \, dy$$

ここで、$D$ は底面の半円 $x^2+y^2 \le a^2$ かつ $y \le 0$ であり、積分範囲は $-a \le x \le a$ かつ $-\sqrt{a^2-x^2} \le y \le 0$ である。

円柱座標系に変換すると、$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ となり、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となる。

$D$ は $\pi \le \theta \le 2\pi$、 $0 \le r \le a$ と表される。

よって、

$$V = \int_\pi^{2\pi} \int_0^a (r\sin\theta+a)r \, dr \, d\theta$$

$$V = \int_\pi^{2\pi} \int_0^a (r^2\sin\theta+ar) \, dr \, d\theta$$

$$V = \int_\pi^{2\pi} \left[\frac{r^3}{3}\sin\theta+\frac{ar^2}{2}\right]_0^a \, d\theta$$

$$V = \int_\pi^{2\pi} \left(\frac{a^3}{3}\sin\theta+\frac{a^3}{2}\right) \, d\theta$$

$$V = \left[-\frac{a^3}{3}\cos\theta+\frac{a^3}{2}\theta\right]_\pi^{2\pi}$$

$$V = \left(-\frac{a^3}{3}\cos(2\pi)+\frac{a^3}{2}(2\pi)\right) - \left(-\frac{a^3}{3}\cos(\pi)+\frac{a^3}{2}(\pi)\right)$$

$$V = \left(-\frac{a^3}{3}+\pi a^3\right) - \left(\frac{a^3}{3}+\frac{\pi a^3}{2}\right)$$

$$V = -\frac{2a^3}{3} + \frac{\pi a^3}{2}$$

$$V = a^3 \left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right)$$

$$V = \left(\frac{3\pi - 4}{6}\right) a^3$$

3. 最終的な答え

$V = \frac{(3\pi - 4)a^3}{6}$