底面の半径が $a$ で、高さも $a$ である直円柱がある。この直円柱を、底面の直径 $AB$ を含み、底面と45°の傾きをなす平面で2つの立体に分ける。小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が $a$ で、高さも $a$ である直円柱がある。この直円柱を、底面の直径 $AB$ を含み、底面と45°の傾きをなす平面で2つの立体に分ける。小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底面の円の中心を原点Oとし、$AB$ をx軸、円柱の高さ方向をz軸とする座標系を考える。

平面の方程式を求める。平面は $AB$ を含み、底面と45°の傾きをなすので、$z = x + a$ と表せる。

次に、積分を使って体積を求める。

小さい方の立体の体積 $V$ は、底面の半円上で積分を行うことで求められる。底面の半円は $x^2 + y^2 \le a^2$ かつ $x \ge 0$ で表される。

$V = \iint z \, dx \, dy$

$V = \iint (x+a) \, dx \, dy$ (積分範囲は $x^2 + y^2 \le a^2$ かつ $x \ge -a$)

ここで、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と変数変換すると、

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{a} (r\cos\theta + a) r \, dr \, d\theta$

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{a} (r^2\cos\theta + ar) \, dr \, d\theta$

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [\frac{1}{3}r^3\cos\theta + \frac{1}{2}ar^2]_{0}^{a} \, d\theta$

$V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\frac{1}{3}a^3\cos\theta + \frac{1}{2}a^3) \, d\theta$

$V = [\frac{1}{3}a^3\sin\theta + \frac{1}{2}a^3\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$

$V = (\frac{1}{3}a^3(1 - (-1)) + \frac{1}{2}a^3(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})))$

$V = \frac{2}{3}a^3 + \frac{\pi}{2}a^3 = (\frac{2}{3}+\frac{\pi}{2})a^3$

底面の半円は $x^2+y^2 \leq a^2$ かつ $x\geq 0$

$V=\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-y^2}} (x+a) \, dx \, dy$

$V=\int_{-a}^{a} [\frac{x^2}{2}+ax]_{0}^{\sqrt{a^2-y^2}}dy$

$V=\int_{-a}^{a} (\frac{a^2-y^2}{2}+a\sqrt{a^2-y^2})dy$

$V=\int_{-a}^{a} \frac{a^2-y^2}{2}dy+\int_{-a}^{a}a\sqrt{a^2-y^2}dy$

$V=a^2y/2-y^3/6|_{-a}^{a}+a\pi a^2/2$

$V=a^3-a^3/3+a\pi a^2/2$

$V=2a^3/3+\pi a^3/2$

$V=(4a^3+3\pi a^3)/6$

$V = \int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} (x+a)dy dx$

$V = \int_{-a}^{a} (x+a)\sqrt{a^2-x^2}dx$

$V = \int_{-a}^{a} x\sqrt{a^2-x^2}dx + \int_{-a}^{a} a\sqrt{a^2-x^2}dx$

$V = 0 + a\frac{\pi a^2}{2} = \frac{\pi a^3}{2}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{2}{3}a^3$