直交座標で表された方程式を極座標表示に変換する問題です。具体的には、 (2) $x+2y=5$ (5) $y^2 = 4x$ (6) $y^2 - x^2 = 1$ の3つの方程式を極座標表示に変換します。

1. 問題の内容

直交座標で表された方程式を極座標表示に変換する問題です。具体的には、

(2) $x+2y=5$

(5) $y^2 = 4x$

(6) $y^2 - x^2 = 1$

の3つの方程式を極座標表示に変換します。

2. 解き方の手順

極座標変換の基本式は、

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

です。これらの式を各方程式に代入し、$r$と$\theta$の関係式を求めます。

(2) $x+2y=5$

$r\cos\theta + 2r\sin\theta = 5$

$r(\cos\theta + 2\sin\theta) = 5$

$r = \frac{5}{\cos\theta + 2\sin\theta}$

(5) $y^2 = 4x$

$(r\sin\theta)^2 = 4r\cos\theta$

$r^2\sin^2\theta = 4r\cos\theta$

$r\sin^2\theta = 4\cos\theta$ (ただし、$r \neq 0$とする)

$r = \frac{4\cos\theta}{\sin^2\theta}$

(6) $y^2 - x^2 = 1$

$(r\sin\theta)^2 - (r\cos\theta)^2 = 1$

$r^2\sin^2\theta - r^2\cos^2\theta = 1$

$r^2(\sin^2\theta - \cos^2\theta) = 1$

$-r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 1$

$-r^2\cos(2\theta) = 1$

$r^2 = -\frac{1}{\cos(2\theta)}$

$r^2 = -\sec(2\theta)$

$r = \sqrt{-\sec(2\theta)}$

3. 最終的な答え

(2) $r = \frac{5}{\cos\theta + 2\sin\theta}$

(5) $r = \frac{4\cos\theta}{\sin^2\theta}$

(6) $r = \sqrt{-\sec(2\theta)}$