三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とする。三角形が成立するための必要十分条件$|b-c| < a < b+c$が与えられている。頂点A, B, Cから対辺またはその延長に下ろした垂線の長さがそれぞれ$h$, 4, 6であるとする。三角形の面積をS, 内接円の半径をrとするとき、$a, b, c, h, \cos{\angle BAC}, \sin{\angle BAC}, S, r$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とする。三角形が成立するための必要十分条件$|b-c| < a < b+c$が与えられている。頂点A, B, Cから対辺またはその延長に下ろした垂線の長さがそれぞれ$h$, 4, 6であるとする。三角形の面積をS, 内接円の半径をrとするとき、$a, b, c, h, \cos{\angle BAC}, \sin{\angle BAC}, S, r$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積Sを各頂点から下ろした垂線を用いて表す。

$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}b \cdot 4 = \frac{1}{2}c \cdot 6$

これから、$a = \frac{2S}{h}$, $b = \frac{S}{2}$, $c = \frac{S}{3}$となる。

(*)の条件より、

$|\frac{S}{2} - \frac{S}{3}| < \frac{2S}{h} < \frac{S}{2} + \frac{S}{3}$

$\frac{S}{6} < \frac{2S}{h} < \frac{5S}{6}$

各辺を$S$で割ると、

$\frac{1}{6} < \frac{2}{h} < \frac{5}{6}$

逆数をとると、

$6 > \frac{h}{2} > \frac{6}{5}$

各辺を2倍すると、

$12 > h > \frac{12}{5} = 2.4$

$2.4 < h < 12$

$h$は整数なので、$h$の最小値は3、最大値は11となる。

$h=3$のとき、$a = \frac{2S}{3}$, $b = \frac{S}{2}$, $c = \frac{S}{3}$.

余弦定理より、

$\cos{\angle BAC} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(\frac{S}{2})^2+(\frac{S}{3})^2-(\frac{2S}{3})^2}{2 \cdot \frac{S}{2} \cdot \frac{S}{3}} = \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}} = 3(\frac{9+4-16}{36}) = 3(\frac{-3}{36}) = -\frac{1}{4}$

$\sin^2{\angle BAC} = 1 - \cos^2{\angle BAC} = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin{\angle BAC} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = \frac{1}{2}bc\sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} \cdot \frac{S}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

$1 = \frac{S\sqrt{15}}{48}$

$S = \frac{48}{\sqrt{15}} = \frac{48\sqrt{15}}{15} = \frac{16\sqrt{15}}{5}$

内接円の半径$r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2S}{\frac{2S}{3}+\frac{S}{2}+\frac{S}{3}} = \frac{2S}{S(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})} = \frac{2}{\frac{4+3+2}{6}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: なし

ウ: 1

エ: 3

オ: 3

カキ: 11

クケ: -1

コ: 4

サシ: 15

スセ: 16

ソタ: 15

チ: 5

ツ: 4

テ: 3