* $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (x\vec{a} - 6\vec{b}) - (2\vec{a}) = (x-2)\vec{a} - 6\vec{b}$ * $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\vec{a} + 4\vec{b}) - (2\vec{a}) = \vec{a} + 4\vec{b}$

## 問題の内容

3点A, B, Cの位置ベクトルが $\overrightarrow{OA} = 2\vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = 3\vec{a} + 4\vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = x\vec{a} - 6\vec{b}$ で与えられているとき、3点A, B, Cが一直線上にあるように $x$ の値を定める問題です。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないとします。

## 解き方の手順

3点A, B, Cが一直線上にある条件は、ある実数 $k$ が存在して $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ となることです。

1. $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AB}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表します。

* $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (x\vec{a} - 6\vec{b}) - (2\vec{a}) = (x-2)\vec{a} - 6\vec{b}$

* $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\vec{a} + 4\vec{b}) - (2\vec{a}) = \vec{a} + 4\vec{b}$

2. $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ を満たす実数 $k$ が存在するので、以下の式が成り立ちます。

$(x-2)\vec{a} - 6\vec{b} = k(\vec{a} + 4\vec{b})$

$(x-2)\vec{a} - 6\vec{b} = k\vec{a} + 4k\vec{b}$

3. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないので、それぞれの係数が等しくなります。

$x - 2 = k$

$-6 = 4k$

4. $-6 = 4k$ より、$k$ の値を求めます。

$k = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

5. $x - 2 = k$ に $k = -\frac{3}{2}$ を代入して、$x$ の値を求めます。

$x - 2 = -\frac{3}{2}$

$x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

## 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$