$V_1 = \pi r^2 h$

##

1. 問題の内容

問題は2つあります。

**問題5:**

半径 $r$、高さ $h$ の円柱があります。底面の半径を半分（$r/2$）にし、高さを2倍（$2h$）にした円柱を作るとき、体積は元の円柱の何倍になるかを、それぞれの体積を文字式で表して求めます。

**問題6:**

地球の赤道に沿って、地表から1mだけ浮かせて長いロープを張ると、赤道より何m長いロープが必要になるかを、地球を球と考えて計算で求めます。

##

2. 解き方の手順

**問題5の解き方:**

1. 元の円柱の体積 $V_1$ を求めます。円柱の体積は（底面積）×（高さ）で求められます。

$V_1 = \pi r^2 h$

2. 新しい円柱の体積 $V_2$ を求めます。新しい円柱の半径は $r/2$、高さは $2h$ です。

$V_2 = \pi (r/2)^2 (2h) = \pi (r^2/4) (2h) = \frac{1}{2} \pi r^2 h$

3. $V_2$ が $V_1$ の何倍であるかを計算します。

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{2} \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{2}$

**問題6の解き方:**

1. 地球の半径を $R$ とします。赤道の長さ $L_1$ は、円周の公式から求められます。

$L_1 = 2 \pi R$

2. 地表から1m浮かせて張ったロープの半径は $R + 1$ となります。このロープの長さ $L_2$ は、同様に円周の公式から求められます。

$L_2 = 2 \pi (R + 1) = 2 \pi R + 2 \pi$

3. ロープの長さの差を求めます。

$L_2 - L_1 = (2 \pi R + 2 \pi) - 2 \pi R = 2 \pi$

$2\pi$ の値を計算すると、$2\pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$ となります。

##

3. 最終的な答え

**問題5の答え:**

新しい円柱の体積は元の円柱の $1/2$ 倍です。

**問題6の答え:**

赤道より約 $6.28$ m 長いロープが必要です。