2つの直線の方程式が与えられています。これらの直線がなす角を求めます。 与えられた方程式は次のとおりです。 $\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{-1}$ $x+2 = \frac{y-4}{-2} = \frac{z+3}{3}$

1. 問題の内容

2つの直線の方程式が与えられています。これらの直線がなす角を求めます。

与えられた方程式は次のとおりです。

$\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{-1}$

$x+2 = \frac{y-4}{-2} = \frac{z+3}{3}$

2. 解き方の手順

まず、各直線の方程式から方向ベクトルを求めます。

1番目の直線の方程式 $\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{-1}$ から、方向ベクトル $\vec{v_1}$ は $\vec{v_1} = (2, 3, -1)$ となります。

2番目の直線の方程式 $x+2 = \frac{y-4}{-2} = \frac{z+3}{3}$ から、方向ベクトル $\vec{v_2}$ は $\vec{v_2} = (1, -2, 3)$ となります。

2つの直線のなす角 $\theta$ は、方向ベクトル $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の内積を用いて求めることができます。

内積の公式は、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = |\vec{v_1}| |\vec{v_2}| \cos{\theta}$ です。

したがって、$\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ となります。

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(3) = 2 - 6 - 3 = -7$

$|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$\cos{\theta} = \frac{-7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ (ラジアン) または $120^{\circ}$ (度)

ただし、2つの直線がなす角は、鋭角で答えるのが一般的です。そのため、180° - 120° = 60° もしくは $\pi/3$ を答える必要があります。今回は鈍角側の角を求めてしまっているので鋭角側の角を答えます。

3. 最終的な答え

$60^{\circ}$