点Pを原点Oを中心として指定された角だけ回転させたときの点Qの座標を求める問題です。 (1) P(2, -1) を $\frac{2}{3}\pi$ だけ回転させたときの点Qの座標を求めます。 (2) P(-6, 2) を $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転させたときの点Qの座標を求めます。

1. 問題の内容

点Pを原点Oを中心として指定された角だけ回転させたときの点Qの座標を求める問題です。

(1) P(2, -1) を $\frac{2}{3}\pi$ だけ回転させたときの点Qの座標を求めます。

(2) P(-6, 2) を $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転させたときの点Qの座標を求めます。

2. 解き方の手順

点P(x, y) を原点Oを中心として$\theta$だけ回転させたときの点Qの座標は、以下の式で求められます。

$Q(x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$

(1) P(2, -1), $\theta = \frac{2}{3}\pi$ の場合

$x = 2, y = -1, \theta = \frac{2}{3}\pi$

$\cos\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}$

$\sin\frac{2}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x\cos\theta - y\sin\theta = 2(-\frac{1}{2}) - (-1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x\sin\theta + y\cos\theta = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1)(-\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

したがって、点Qの座標は$Q(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3} + \frac{1}{2})$

(2) P(-6, 2), $\theta = -\frac{\pi}{4}$ の場合

$x = -6, y = 2, \theta = -\frac{\pi}{4}$

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x\cos\theta - y\sin\theta = -6(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} + \sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

$x\sin\theta + y\cos\theta = -6(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

したがって、点Qの座標は$Q(-2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $Q(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3} + \frac{1}{2})$

(2) $Q(-2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$