$\triangle ABC$において、頂点Bから対辺CAに垂線BHを下ろしたとき、$\triangle AHB$および$\triangle CHB$について、$BH$の長さをそれぞれ求め、それらを用いて正弦定理が成り立つかを確認する。具体的には、空欄ア、イを埋める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、頂点Bから対辺CAに垂線BHを下ろしたとき、$\triangle AHB$および$\triangle CHB$について、$BH$の長さをそれぞれ求め、それらを用いて正弦定理が成り立つかを確認する。具体的には、空欄ア、イを埋める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle AHB$に注目する。$\angle AHB=90^\circ$であるから、$\sin A = \frac{BH}{AB}$が成り立つ。$AB=c$より、$BH = c \sin A$。したがって、アに入る値は$c\sin A$である。

次に、$c \sin A = a \sin C$が成り立つので、両辺を$\sin A \sin C$で割ると、

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$

を得る。したがって、イに入る値は$\frac{c}{\sin C}$である。

3. 最終的な答え

ア：$c \sin A$

イ：$\frac{c}{\sin C}$