三角形ABCにおいて、与えられた情報から辺aと辺bの値を求める問題です。 (1) $b = 3$, $c = 2$, $\angle A = 60^\circ$ (2) $a = 1$, $c = \sqrt{2}$, $\angle B = 45^\circ$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた情報から辺aと辺bの値を求める問題です。

(1) $b = 3$, $c = 2$, $\angle A = 60^\circ$

(2) $a = 1$, $c = \sqrt{2}$, $\angle B = 45^\circ$

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて辺aを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 13 - 6 = 7$

$a = \sqrt{7}$

次に、正弦定理を使ってsinBを求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin B = \frac{b \sin A}{a}$

$\sin B = \frac{3 \sin 60^\circ}{\sqrt{7}}$

$\sin B = \frac{3 (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$\sin B = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

$B = \arcsin(\frac{3\sqrt{21}}{14})$

A+B+C = 180°よりC = 180° - A - B

C = 180° - 60° - arcsin(3√21 / 14)

C = 120° - arcsin(3√21 / 14)

正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$

$\sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$C = \arcsin(\frac{\sqrt{21}}{7})$

あるいは$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$よりaは求まるので、正弦定理でBを求めなくても余弦定理でcosBを求めた方が楽。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$9 = 7 + 4 - 2 * \sqrt{7} * 2 * \cos B$

$4\sqrt{7}\cos B = 2$

$\cos B = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$

$B = \arccos(\frac{\sqrt{7}}{14})$

$a = \sqrt{7}$

(2) 正弦定理を用いてbを求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{1}{\sin A} = \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$

余弦定理より

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(1)(\sqrt{2}) \cos 45^\circ$

$b^2 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 3 - 2 = 1$

$b = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{7}$

(2) $b = 1$