問題は2つの小問からなります。 (1) $\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つの小問からなります。

(1) $\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{3}{5}$ なので、

$(\frac{3}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$

$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta < 0$ である。

したがって、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

(2)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ なので、

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta < 0$ である。

したがって、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

$\cos \theta = -\frac{4}{5}$

$\tan \theta = -\frac{3}{4}$

(2)

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$