底面の半径が $r$ 、高さが $h$ の円柱があります。この円柱の底面の半径を2倍にし、高さを半分にした円柱を作るとき、体積は元の円柱の何倍になるか。それぞれの体積を文字の式で表して求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が $r$ 、高さが $h$ の円柱があります。この円柱の底面の半径を2倍にし、高さを半分にした円柱を作るとき、体積は元の円柱の何倍になるか。それぞれの体積を文字の式で表して求めよ。

2. 解き方の手順

* 元の円柱の体積を求める。

円柱の体積は (底面積)×(高さ) で求められる。

底面積は $\pi r^2$ なので、元の円柱の体積は

$V_1 = \pi r^2 h$

* 新しい円柱の体積を求める。

新しい円柱の半径は $2r$、高さは $\frac{h}{2}$ なので、体積は

$V_2 = \pi (2r)^2 (\frac{h}{2}) = \pi (4r^2) (\frac{h}{2}) = 2 \pi r^2 h$

* 体積の比を計算する。

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{2 \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 2$

3. 最終的な答え

新しい円柱の体積は、元の円柱の2倍になる。