$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $L$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $M$、辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $LM$ と線分 $ON$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $L$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $M$、辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $LM$ と線分 $ON$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $L, M, N$ の位置ベクトルを $\vec{OA}, \vec{OB}$ で表す。

$L$ は $OA$ を $2:1$ に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{2}{3} \vec{OA}$

$M$ は $OB$ を $1:2$ に内分するので、

$\vec{OM} = \frac{1}{3} \vec{OB}$

$N$ は $AB$ を $3:2$ に内分するので、

$\vec{ON} = \frac{2 \vec{OA} + 3 \vec{OB}}{3+2} = \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}$

次に、点 $P$ が線分 $ON$ 上にあることから、実数 $k$ を用いて

$\vec{OP} = k \vec{ON} = k \left( \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB} \right) = \frac{2k}{5} \vec{OA} + \frac{3k}{5} \vec{OB}$

と表せる。

また、$P$ が線分 $LM$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t) \vec{OL} + t \vec{OM} = (1-t) \frac{2}{3} \vec{OA} + t \frac{1}{3} \vec{OB} = \frac{2(1-t)}{3} \vec{OA} + \frac{t}{3} \vec{OB}$

と表せる。

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{2k}{5} = \frac{2(1-t)}{3}$ かつ $\frac{3k}{5} = \frac{t}{3}$

$3k = 5(1-t)$ かつ $9k = 5t$

$3k = 5 - 5t$ かつ $9k = 5t$

これらより $3k = 5 - 9k$ となり、$12k = 5$ なので $k = \frac{5}{12}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{5}{12} \vec{ON} = \frac{5}{12} \left( \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB} \right) = \frac{1}{6} \vec{OA} + \frac{1}{4} \vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{6} \vec{OA} + \frac{1}{4} \vec{OB}$