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与えられた図形の三角比の値を求める問題です。4つの図形に対して、指定された辺の長さや角度から、sin、cos、tanの値を求めます。図形(4)では、まずBD, BC, CD, DEの長さを求めてから、三角比の値を計算します。

幾何学三角比三角関数ピタゴラスの定理相似図形
2025/6/23

1. 問題の内容

与えられた図形の三角比の値を求める問題です。4つの図形に対して、指定された辺の長さや角度から、sin、cos、tanの値を求めます。図形(4)では、まずBD, BC, CD, DEの長さを求めてから、三角比の値を計算します。

2. 解き方の手順

**(1) の解き方**
* まず、ピタゴラスの定理を使ってBCBCの長さを求めます。
AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2 より、
BC=AB2−AC2=72−52=49−25=24=26BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
* sin A = (対辺)/(斜辺) = BC/AB=(26)/7BC/AB = (2\sqrt{6})/7
* cos A = (隣辺)/(斜辺) = AC/AB=5/7AC/AB = 5/7
* sin B = (対辺)/(斜辺) = AC/AB=5/7AC/AB = 5/7
* tan B = (対辺)/(隣辺) = AC/BC=5/(26)=(56)/12AC/BC = 5/(2\sqrt{6}) = (5\sqrt{6})/12
**(2) の解き方**
* まず、ピタゴラスの定理を使ってABABの長さを求めます。
AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2 より、ACACが斜辺です。
AB=AC2−BC2=32−22=9−4=5AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}
* sin A = (対辺)/(斜辺) = BC/AC=2/3BC/AC = 2/3
* tan A = (対辺)/(隣辺) = BC/AB=2/5=(25)/5BC/AB = 2/\sqrt{5} = (2\sqrt{5})/5
* cos B = (隣辺)/(斜辺) = BC/AC=2/3BC/AC = 2/3
* tan B = (対辺)/(隣辺) = AB/BC=5/2AB/BC = \sqrt{5}/2
**(3) の解き方**
* まず、ピタゴラスの定理を使ってACACの長さを求めます。
AD2=AC2+CD2AD^2 = AC^2 + CD^2
52=42+CD25^2 = 4^2 + CD^2
CD=3CD = 3
* sin⁡A=CDAD=35\sin A = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{5}
* cos⁡A=ACAD=45\cos A = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{5}
* tan⁡D=ACCD=43\tan D = \frac{AC}{CD} = \frac{4}{3}
* sin⁡D=ACAD=45\sin D = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{5}
三角形ABDは二等辺三角形なので、角D=角B
* sin⁡B=ACAD=45\sin B = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{5}
* cos⁡B=CDAD=35\cos B = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{5}
**(4) の解き方**
* 三角形ABEと三角形ACEは相似なので、AEは角Aの二等分線である.
* BD/DC = AB/AC = 12/26 = 6/13
* BD + DC = BC
* BD = 6x, DC = 13x とすると、BD + DC = 19x
三角形ABDと三角形ADEは合同なので、AD = AE = 13
AB/AD = 12/13 = AD/AC= 13/26 =1/2ではないので、相似ではない。
AD/AE = AB/AC = 6/13
BD=12, CD= 26, AB =12, AD = 13
BD = 132−122=5\sqrt{13^2 - 12^2} = 5
BDDC=ABAC=1226\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{26}
BDDC=613\frac{BD}{DC}=\frac{6}{13}
DC=136BDDC= \frac{13}{6}BD
BC=BD+DC=BD+136BD=196BDBC=BD+DC=BD+\frac{13}{6}BD=\frac{19}{6}BD
DEAB=AEAC\frac{DE}{AB}=\frac{AE}{AC}
∠CAE=∠DAE\angle CAE=\angle DAE より，CA:DA=CE:DECA:DA = CE:DE　であるので，CE:DE=26:13=2:1CE:DE=26:13=2:1。
∠ACB=θ\angle ACB=\thetaと置くと，sin⁡C=ABAC=1226=613\sin C = \frac{AB}{AC}= \frac{12}{26} = \frac{6}{13}

3. 最終的な答え

**(1)**
* sin A = 267\frac{2\sqrt{6}}{7}
* cos A = 57\frac{5}{7}
* sin B = 57\frac{5}{7}
* tan B = 5612\frac{5\sqrt{6}}{12}
**(2)**
* sin A = 23\frac{2}{3}
* tan A = 255\frac{2\sqrt{5}}{5}
* cos B = 23\frac{2}{3}
* tan B = 52\frac{\sqrt{5}}{2}
**(3)**
* sin A = 35\frac{3}{5}
* cos A = 45\frac{4}{5}
* sin D = 45\frac{4}{5}
* tan D = 43\frac{4}{3}
* sin B = 45\frac{4}{5}
* cos B = 35\frac{3}{5}
**(4)**
* BD = 5
* BC = 21.66
* CD =
* DE =
* sin C = 6/13
* cos C =
* sin D =
* cos D =
* tan E =

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