図が与えられており、$\angle CAE = \angle DAE$, $AB=12$, $AC=26$, $AD=13$, $BD=5$ である。このとき、$BC$, $CD$, $DE$, $\sin C$, $\cos C$, $\sin D$, $\cos D$, $\tan E$ の値を求める。

1. 問題の内容

図が与えられており、$\angle CAE = \angle DAE$, $AB=12$, $AC=26$, $AD=13$, $BD=5$ である。このとき、$BC$, $CD$, $DE$, $\sin C$, $\cos C$, $\sin D$, $\cos D$, $\tan E$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$BC$ の長さを求める。$BC = BD + DC$ であるから、$DC$ を求める必要がある。$CD = AD - AC$ ではないことに注意。

次に、$CD$ の長さを求める。$AB = 12$, $BD = 5$ より、$AD = 13$ が与えられているので、$CD=AC-AD = 26-13=13$が成り立つ。よって、$CD=13$である。

したがって、$BC = BD + CD = 5 + 13 = 18$ となる。

次に、$DE$ の長さを求める。$\angle CAE = \angle DAE$ より、$AE$ は $\angle DAC$ の二等分線である。したがって、角の二等分線の定理より、$AD:AC=DE:CE$である。

$AD = 13$, $AC = 26$ より、$AD:AC = 13:26 = 1:2$ である。したがって、$DE:CE = 1:2$ となる。

よって、$CE=2DE$である。また、$CD=DE+CE$であり、$CD=13$であるから、$13=DE+2DE=3DE$となる。

したがって、$DE = \frac{13}{3}$となる。

次に、$\triangle ABC$において、$\sin C$と$\cos C$を求める。$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{26} = \frac{6}{13}$、$\cos C = \frac{\sqrt{AC^2 - AB^2}}{AC} = \frac{\sqrt{26^2 - 12^2}}{26} = \frac{\sqrt{676 - 144}}{26} = \frac{\sqrt{532}}{26} = \frac{\sqrt{4 \cdot 133}}{26} = \frac{2\sqrt{133}}{26} = \frac{\sqrt{133}}{13}$となる。

次に、$\triangle ABD$において、$\sin D$と$\cos D$を求める。$\angle B = 90^\circ$より、$\sin D = \frac{AB}{AD} = \frac{12}{13}$、$\cos D = \frac{BD}{AD} = \frac{5}{13}$となる。

最後に、$\tan E$を求める。$\tan E = \frac{AD}{BD} = \frac{AB}{AD}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$BC = 18$

$CD = 13$

$DE = \frac{13}{3}$

$\sin C = \frac{6}{13}$

$\cos C = \frac{\sqrt{133}}{13}$

$\sin D = \frac{12}{13}$

$\cos D = \frac{5}{13}$

$\tan E = \frac{AD}{DE}$において, $E = \angle AED$を求める. $AD=13, DE=\frac{13}{3}$より$\tan E = \frac{13}{13/3}=3$。