四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{4}$で定まる点Gがある。直線BGと三角形OACの交点をQとする。位置ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OC}$で表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{4}$で定まる点Gがある。直線BGと三角形OACの交点をQとする。位置ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OC}$で表せ。

2. 解き方の手順

点Qは直線BG上にあるので、実数$s$を用いて

$$\overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OG}$$

と表せる。$\overrightarrow{OG}$を代入すると

$$\overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\left(\frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{4}\right) = \frac{s}{4}\overrightarrow{OA} + \left(1 - s + \frac{s}{4}\right)\overrightarrow{OB} + \frac{s}{4}\overrightarrow{OC} = \frac{s}{4}\overrightarrow{OA} + \left(1 - \frac{3s}{4}\right)\overrightarrow{OB} + \frac{s}{4}\overrightarrow{OC}$$

また、点Qは三角形OAC上にあるので、実数$l,m$を用いて

$$\overrightarrow{OQ} = l\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OC} \quad (l+m=1)$$

と表せる。これより$\overrightarrow{OB}$の係数は0でなければならないので

$$1-\frac{3s}{4} = 0$$

$$s = \frac{4}{3}$$

したがって

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{4/3}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{4/3}{4}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$