2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ (ただし $a > 0$) が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の値の範囲を求める。 (2) 第1象限の交点における2つの円の接線が垂直に交わるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ (ただし $a > 0$) が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の値の範囲を求める。

(2) 第1象限の交点における2つの円の接線が垂直に交わるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わるための条件は、2円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さく、差よりも大きいことです。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ で半径は $1$ です。

円 $(x-a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ の中心は $(a, 0)$ で半径は $\frac{a}{2}$ です。

中心間の距離は $\sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2} = |a| = a$ ($a>0$ より)となります。

したがって、交わる条件は、

$|1 - \frac{a}{2}| < a < 1 + \frac{a}{2}$

となります。

まず、$a < 1 + \frac{a}{2}$ を解きます。

$a < 1 + \frac{a}{2}$

$\frac{a}{2} < 1$

$a < 2$

次に、$|1 - \frac{a}{2}| < a$ を解きます。

これは $1 - \frac{a}{2} < a$ かつ $-(1 - \frac{a}{2}) < a$ と同値です。

$1 - \frac{a}{2} < a$

$1 < \frac{3a}{2}$

$\frac{2}{3} < a$

$-(1 - \frac{a}{2}) < a$

$-1 + \frac{a}{2} < a$

$-1 < \frac{a}{2}$

$-2 < a$

$a > 0$ であることから、$-2 < a$ の条件は常に満たされます。

したがって、$\frac{2}{3} < a < 2$ が求める範囲です。

(2) 第1象限の交点における2つの円の接線が垂直に交わるとき、2つの円は直交するといいます。このとき、2円の中心間の距離の2乗は、2つの円の半径の2乗の和に等しくなります。

$(a-0)^2 + (0-0)^2 = 1^2 + (\frac{a}{2})^2$

$a^2 = 1 + \frac{a^2}{4}$

$\frac{3}{4} a^2 = 1$

$a^2 = \frac{4}{3}$

$a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$a > 0$ より、$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

ここで$\frac{2}{3} < a < 2$を満たすかを確認します。

$\frac{2}{3} < \frac{2\sqrt{3}}{3} < 2$

$1 < \sqrt{3} < 3$ これは正しいです。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} < a < 2$

(2) $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$