1. 楕円 $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ の焦点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

1. 楕円 $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ の焦点の座標を求めよ。

2. $x = 3\cos{\theta} - 4$ と $y = \sin{\theta} + 2$ から $\theta$ を消去して $x, y$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 楕円の焦点の座標を求める。

楕円の式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし、$a > b > 0$) と表されるとき、焦点の座標は $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ である。

今回の楕円の式は $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ であるから、$a^2 = 18$、$b^2 = 9$ である。

よって、焦点の座標は $(\pm \sqrt{18 - 9}, 0)$、つまり $(\pm \sqrt{9}, 0)$ であるから、$(\pm 3, 0)$ である。

2. $\theta$ を消去して $x, y$ の方程式を求める。

与えられた式は $x = 3\cos{\theta} - 4$ と $y = \sin{\theta} + 2$ である。

$x$ の式から $\cos{\theta}$ を求めると、$\cos{\theta} = \frac{x + 4}{3}$ となる。

$y$ の式から $\sin{\theta}$ を求めると、$\sin{\theta} = y - 2$ となる。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ であるから、

$$\left(\frac{x+4}{3}\right)^2 + (y-2)^2 = 1$$

$$\frac{(x+4)^2}{9} + (y-2)^2 = 1$$

3. 最終的な答え

1. $(\pm 3, 0)$

2. $\frac{(x+4)^2}{9} + (y-2)^2 = 1$