2点 $A(5, 1)$、 $B(2, 8)$ がある。x軸上、y軸上にそれぞれ点P、Qをとるとき、$AP + PQ + QB$ を最小にする点P、Qの座標を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(5, 1)$、 $B(2, 8)$ がある。x軸上、y軸上にそれぞれ点P、Qをとるとき、$AP + PQ + QB$ を最小にする点P、Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Aをx軸に関して対称移動した点を $A'$ とすると、$A'(5, -1)$ となる。同様に、点Bをy軸に関して対称移動した点を $B'$ とすると、$B'(-2, 8)$となる。

このとき、$AP = A'P$、$BQ = B'Q$ であるから、$AP + PQ + QB = A'P + PQ + QB'$ となる。

したがって、$A'P + PQ + QB'$ が最小になるように点P、Qを選べば良い。

$A'P + PQ + QB'$ が最小になるのは、3点 $A'$、P、Q、 $B'$ が同一直線上にあるときである。

このとき、$A'B'$ の直線の方程式を求める。

$A'B'$ の傾きは、

$\frac{8 - (-1)}{-2 - 5} = \frac{9}{-7} = -\frac{9}{7}$

$A'(5, -1)$ を通る直線の式は、

$y - (-1) = -\frac{9}{7}(x - 5)$

$y + 1 = -\frac{9}{7}x + \frac{45}{7}$

$y = -\frac{9}{7}x + \frac{45}{7} - 1$

$y = -\frac{9}{7}x + \frac{38}{7}$

点Pはx軸上にあるので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = -\frac{9}{7}x + \frac{38}{7}$

$\frac{9}{7}x = \frac{38}{7}$

$9x = 38$

$x = \frac{38}{9}$

よって、$P(\frac{38}{9}, 0)$

点Qはy軸上にあるので、$x = 0$ を代入すると、

$y = -\frac{9}{7}(0) + \frac{38}{7}$

$y = \frac{38}{7}$

よって、$Q(0, \frac{38}{7})$

3. 最終的な答え

$P(\frac{38}{9}, 0)$

$Q(0, \frac{38}{7})$