$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $L$、辺 $OB$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $AM$ の交点を $P$ とするとき、$AP:PM$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $L$、辺 $OB$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $AM$ の交点を $P$ とするとき、$AP:PM$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ とおく。

点 $L$ は辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点なので、

$\vec{OL} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

点 $P$ は線分 $OL$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\vec{OP} = s\vec{OL} = \frac{4s}{7}\vec{a} + \frac{3s}{7}\vec{b}$ と表せる。

また、点 $P$ は線分 $AM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{a} + t\frac{1}{2}\vec{b} = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$ と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{4s}{7} = 1-t$

$\frac{3s}{7} = \frac{t}{2}$

2つ目の式から $t = \frac{6s}{7}$ を得る。

これを1つ目の式に代入すると

$\frac{4s}{7} = 1 - \frac{6s}{7}$

$4s = 7 - 6s$

$10s = 7$

$s = \frac{7}{10}$

したがって、$t = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{3}{5}$

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{5})\vec{a} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{10}\vec{b}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OM}$ より、$AP:PM = t:(1-t)$ である。

したがって、$AP:PM = \frac{3}{5} : (1-\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3:2$

3. 最終的な答え

$AP:PM = 3:2$