実数 $a, b$ に対して、3つの直線 $l: x+y=0$, $l_1: ax+y=2a+2$, $l_2: bx+y=2b+2$ が与えられている。 (1) 直線 $l_1$ が $a$ の値によらずに通る点 $P$ の座標を求める。 (2) 3つの直線 $l, l_1, l_2$ が三角形を作るための $a, b$ の条件を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に対して、3つの直線 $l: x+y=0$, $l_1: ax+y=2a+2$, $l_2: bx+y=2b+2$ が与えられている。

(1) 直線 $l_1$ が $a$ の値によらずに通る点 $P$ の座標を求める。

(2) 3つの直線 $l, l_1, l_2$ が三角形を作るための $a, b$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$l_1$ の式 $ax+y=2a+2$ を $a$ について整理すると、

$a(x-2) + (y-2) = 0$

この式が任意の $a$ について成り立つためには、

$x-2 = 0$ かつ $y-2 = 0$

が成り立てばよい。

したがって、$x=2$, $y=2$

よって、点Pの座標は $(2, 2)$

(2)

3つの直線が三角形を作らない条件は、

* 3直線が平行である。

* 3直線が1点で交わる。

のいずれかが成り立つ場合である。

まず、3直線の傾きを求める。

$l: x+y=0$ より、$y=-x$ だから、傾きは $-1$

$l_1: ax+y=2a+2$ より、$y=-ax+2a+2$ だから、傾きは $-a$

$l_2: bx+y=2b+2$ より、$y=-bx+2b+2$ だから、傾きは $-b$

3直線が平行になるのは、

$-1=-a$ または $-1=-b$ または $-a=-b$ のとき。

すなわち、$a=1$ または $b=1$ または $a=b$ のとき。

次に、3直線が1点で交わる場合を考える。

$l$ と $l_1$ の交点を求める。

$x+y=0$ と $ax+y=2a+2$ より、

$y=-x$ を $ax+y=2a+2$ に代入して、$ax-x=2a+2$

$(a-1)x=2a+2$

$a \neq 1$ のとき、$x = \frac{2a+2}{a-1}$

$y = -x = -\frac{2a+2}{a-1}$

交点は $(\frac{2a+2}{a-1}, -\frac{2a+2}{a-1})$

この交点が $l_2$ 上にあるとき、

$b(\frac{2a+2}{a-1}) + (-\frac{2a+2}{a-1}) = 2b+2$

$\frac{2ab+2b-2a-2}{a-1} = 2b+2$

$2ab+2b-2a-2 = (2b+2)(a-1) = 2ab-2b+2a-2$

$2ab+2b-2a-2 = 2ab-2b+2a-2$

$4b = 4a$

$a=b$

$a=1$ のとき、$l$と$l_1$は平行になるので交点を持たない。

$b=1$ のとき、$l$と$l_2$は平行になるので交点を持たない。

したがって、3直線が三角形を作らない条件は、$a=1$ または $b=1$ または $a=b$

3直線が三角形を作る条件は、上記の条件の否定であるから、

$a \neq 1$ かつ $b \neq 1$ かつ $a \neq b$

3. 最終的な答え

(1) Pの座標: $(2, 2)$

(2) $a \neq 1$ かつ $b \neq 1$ かつ $a \neq b$