一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺AB, AC上にそれぞれ点P, Qを取り、辺BCに下ろした垂線の足をR, Sとする。BR = x としたとき、長方形PRSQの面積Tをxで表し、Tの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺AB, AC上にそれぞれ点P, Qを取り、辺BCに下ろした垂線の足をR, Sとする。BR = x としたとき、長方形PRSQの面積Tをxで表し、Tの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 長方形PRSQの面積Tをxで表す。

正三角形ABCにおいて、∠B = 60°である。

直角三角形PBRにおいて、PR = x * tan(60°) = $\sqrt{3}x$となる。

また、BC = 2であり、BR = xなので、RS = 2 - 2xとなる。

（理由：正三角形なのでBS = BC-SC= BC-BR = 2-x より RS=BS-BR= 2-x-x =2-2x)

したがって、長方形PRSQの面積Tは、

$T = PR * RS = \sqrt{3}x (2 - 2x) = \sqrt{3}(2x - 2x^2)$

したがって、T = $\sqrt{3}(2x - 2x^2)$

(2) Tの最大値を求める。

$T = \sqrt{3}(2x - 2x^2)$ を平方完成すると、

$T = -2\sqrt{3}(x^2 - x) = -2\sqrt{3}((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = -2\sqrt{3}(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、x = $\frac{1}{2}$のとき、Tは最大値$\frac{\sqrt{3}}{2}$をとる。

3. 最終的な答え

(1) T = $\sqrt{3}(2x - 2x^2)$ (選択肢③)

(2) x = $\frac{1}{2}$のとき、(最大値) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (選択肢⑤)