$AB = AC = 2$, $\angle A = 30^\circ$ である三角形 $ABC$ がある。このとき、三角形 $ABC$ の面積と辺 $BC$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$AB = AC = 2$, $\angle A = 30^\circ$ である三角形 $ABC$ がある。このとき、三角形 $ABC$ の面積と辺 $BC$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(f) 三角形 $ABC$ の面積は、2辺とその間の角のsinを用いて計算できる。

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A$ で表される。

$AB = 2$, $AC = 2$, $\angle A = 30^\circ$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin 30^\circ$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ より、

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 1$

(g) 辺 $BC$ の長さは、余弦定理を用いて計算できる。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A$

$AB = 2$, $AC = 2$, $\angle A = 30^\circ$ なので、

$BC^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \times \cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$BC^2 = 4 + 4 - 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 - 4\sqrt{3} = 4(2 - \sqrt{3})$

$BC = \sqrt{4(2 - \sqrt{3})} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

ここで、$2 - \sqrt{3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}$ より

$BC = 2\sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

三角形 $ABC$ の面積は $1$ であり、辺 $BC$ の長さは $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ である。