平面上に三角形ABCと点Pがあり、$ \overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0} $を満たしている。$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} $とする。 (1) $ \overrightarrow{AP} $を$ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $で表せ。 (2) 直線APと直線BCの交点をQとする。$ \overrightarrow{AQ} $を$ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $で表せ。

1. 問題の内容

平面上に三角形ABCと点Pがあり、$\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$を満たしている。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$とする。

(1) $\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$で表せ。

(2) 直線APと直線BCの交点をQとする。$\overrightarrow{AQ}$を$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$を変形する。

まず、$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{c}$を代入する。

$\overrightarrow{AP} + 2(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$

$6\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}}{6} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

(2) 点Qは直線AP上にあるので、$\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$と表せる。

また、点Qは直線BC上にあるので、$\overrightarrow{AQ} = s\overrightarrow{AB} + (1-s)\overrightarrow{AC} = s\overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$と表せる。

したがって、$\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP} = k(\frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}) = \frac{k}{3}\overrightarrow{b} + \frac{k}{2}\overrightarrow{c}$

これと$\overrightarrow{AQ} = s\overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$より、

$\frac{k}{3} = s$, $\frac{k}{2} = 1-s$

これらを連立して解くと、

$\frac{k}{2} = 1 - \frac{k}{3}$

$\frac{k}{2} + \frac{k}{3} = 1$

$\frac{5}{6}k = 1$

$k = \frac{6}{5}$

$s = \frac{k}{3} = \frac{6/5}{3} = \frac{2}{5}$

よって、$\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{5}\overrightarrow{b} + (1-\frac{2}{5})\overrightarrow{c} = \frac{2}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

(2) $\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c}$