問題は2つあります。どちらも三角形ABCにおいて、点Iが内心であるという条件のもとで、角度$\alpha$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。どちらも三角形ABCにおいて、点Iが内心であるという条件のもとで、角度$\alpha$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

点Iは$\triangle ABC$の内心であるため、AI, BI, CIはそれぞれ$\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle ACB$の二等分線です。

$\angle ABC = 30^{\circ}$なので、$\angle ABI = \angle CBI = 15^{\circ}$です。

$\angle BAC = x$, $\angle ACB = y$とすると、

$\angle IAC = \angle BAI = \frac{x}{2}$, $\angle ICA = \angle BCI = \frac{y}{2}$です。

$\triangle ABC$の内角の和は$180^{\circ}$なので、$x+30^{\circ}+y = 180^{\circ}$

したがって、$x+y = 150^{\circ}$です。

$\triangle ABI$について、$\angle AIB = 180^{\circ} - (15^{\circ} + \frac{x}{2})$です。

$\triangle ACI$について、$\angle AIC = 180^{\circ} - (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) = 180^{\circ} - \frac{x+y}{2} = 180^{\circ} - \frac{150^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$です。

$\angle BIC = 180^{\circ} - (15^{\circ} + \frac{y}{2})$です。

ここで、$\alpha$は$\angle IAC$に等しいので、$\alpha = \frac{x}{2}$です。

$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$より、$x+30^{\circ}+y = 180^{\circ}$なので、$x+y = 150^{\circ}$。

$\triangle ABC$について、AI, BI, CIは角の二等分線だから

$\angle IBA = \angle CBI = 15^{\circ}$

$\angle BAI = \angle CAI = \alpha$

$\angle BCI = \angle ACI = \frac{180-30-2\alpha}{2} = 75-\alpha$

$\triangle IBC$について、

$15+75-\alpha+\angle BIC = 180$

$\angle BIC = 90+\alpha$

また、内心Iは角の二等分線の交点なので、$\angle AIB = 180 - (30/2 + \alpha)$

$\angle AIC = 105$

すると$\alpha = \frac{x}{2} = 60^{\circ}$

あるいは、$\alpha = 75^{\circ}$

(2)

点Iは$\triangle ABC$の内心であるため、AI, BI, CIはそれぞれ$\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle ACB$の二等分線です。

$\angle BAC = 50^{\circ}$なので、$\angle BAI = \angle CAI = 25^{\circ}$です。

$\angle ABC = 25^{\circ} \times 2 = 50^{\circ}$

$\angle ACB = 2\alpha$

$\triangle ABC$の内角の和は$180^{\circ}$なので、$50^{\circ}+50^{\circ}+2\alpha = 180^{\circ}$

したがって、$2\alpha = 80^{\circ}$なので、$\alpha = 40^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 75^{\circ}$

(2) $\alpha = 40^{\circ}$