座標平面上に3点 A(-1, 3), B(4, 5), C(3, 1) が与えられている。以下の問いに答えよ。 (1) 線分 AB の長さを求めよ。 (2) 線分 AB を 5:3 の比に内分する点 D の座標を求めよ。 (3) y 軸上にあり、点 C との距離が 5 であるような点 P の座標を求めよ。 (4) 三角形 ABC の重心 G の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(-1, 3), B(4, 5), C(3, 1) が与えられている。以下の問いに答えよ。

(1) 線分 AB の長さを求めよ。

(2) 線分 AB を 5:3 の比に内分する点 D の座標を求めよ。

(3) y 軸上にあり、点 C との距離が 5 であるような点 P の座標を求めよ。

(4) 三角形 ABC の重心 G の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AB の長さを求める。

点 A(-1, 3), B(4, 5) の間の距離は、距離の公式を用いて求められる。

距離の公式は、$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ である。

この場合、$x_1 = -1, y_1 = 3, x_2 = 4, y_2 = 5$ である。

よって、$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

(2) 線分 AB を 5:3 の比に内分する点 D の座標を求める。

内分点の公式は、$D = (\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n})$ である。

この場合、$m = 5, n = 3, x_1 = -1, y_1 = 3, x_2 = 4, y_2 = 5$ である。

よって、$D = (\frac{5(4) + 3(-1)}{5 + 3}, \frac{5(5) + 3(3)}{5 + 3}) = (\frac{20 - 3}{8}, \frac{25 + 9}{8}) = (\frac{17}{8}, \frac{34}{8}) = (\frac{17}{8}, \frac{17}{4})$

(3) y 軸上にあり、点 C(3, 1) との距離が 5 であるような点 P の座標を求める。

y 軸上にある点の x 座標は 0 なので、P(0, y) とおく。

点 C(3, 1) と点 P(0, y) の距離が 5 であることから、

$\sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - y)^2} = 5$

両辺を 2 乗して、$9 + (1 - y)^2 = 25$

$(1 - y)^2 = 16$

$1 - y = \pm 4$

$y = 1 \pm 4$

$y = 5, -3$

よって、P(0, 5), P(0, -3)

(4) 三角形 ABC の重心 G の座標を求める。

重心の公式は、$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ である。

この場合、$A(-1, 3), B(4, 5), C(3, 1)$ である。

よって、$G = (\frac{-1 + 4 + 3}{3}, \frac{3 + 5 + 1}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{9}{3}) = (2, 3)$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{29}$

(2) $(\frac{17}{8}, \frac{17}{4})$

(3) (0, 5), (0, -3)

(4) (2, 3)