与えられた直角三角形において、以下の問いに答える。 (3) ベクトル $BC$ とベクトル $AC$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $BC \cdot AC$ を計算する。 (4) ベクトル $CB$ とベクトル $AB$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $CB \cdot AB$ を計算する。 (5) ベクトル $AC$ とベクトル $BA$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $AC \cdot BA$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた直角三角形において、以下の問いに答える。

(3) ベクトル $BC$ とベクトル $AC$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $BC \cdot AC$ を計算する。

(4) ベクトル $CB$ とベクトル $AB$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $CB \cdot AB$ を計算する。

(5) ベクトル $AC$ とベクトル $BA$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $AC \cdot BA$ を計算する。

2. 解き方の手順

(3)

$BC$ と $AC$ のなす角 $\theta$ は、図から $\theta = 45^{\circ}$ である。

内積 $BC \cdot AC$ は、ベクトルの長さの積と、なす角のコサインの積で表される。

$BC \cdot AC = |BC| |AC| \cos{45^{\circ}}$

$BC \cdot AC = 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36$

(4)

$CB$ と $AB$ のなす角 $\theta$ は、図から $\theta = 90^{\circ}$ である。

内積 $CB \cdot AB$ は、ベクトルの長さの積と、なす角のコサインの積で表される。

$CB \cdot AB = |CB| |AB| \cos{90^{\circ}}$

$CB \cdot AB = 6 \cdot 6 \cdot 0 = 0$

(5)

$AC$ と $BA$ のなす角 $\theta$ は、図から $\theta = 135^{\circ}$ である。

内積 $AC \cdot BA$ は、ベクトルの長さの積と、なす角のコサインの積で表される。

$AC \cdot BA = |AC| |BA| \cos{135^{\circ}}$

$AC \cdot BA = 6\sqrt{2} \cdot 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -36$

3. 最終的な答え

(3) $\theta = 45^{\circ}$ 、 $BC \cdot AC = 36$

(4) $\theta = 90^{\circ}$ 、 $CB \cdot AB = 0$

(5) $\theta = 135^{\circ}$ 、 $AC \cdot BA = -36$