単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $P(x, y)$ における接線 $\ell$ が、直線 $OP$ と垂直であることを、傾きを計算して確かめる問題です。

1. 問題の内容

単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $P(x, y)$ における接線 $\ell$ が、直線 $OP$ と垂直であることを、傾きを計算して確かめる問題です。

2. 解き方の手順

円の式 $x^2 + y^2 = 1$ の両辺を $x$ で微分します。

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

この $\frac{dy}{dx}$ は点 $P(x, y)$ における接線 $\ell$ の傾きを表します。

次に、直線 $OP$ の傾きを求めます。点 $O$ は原点 $(0, 0)$ なので、$OP$ の傾きは $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$ となります。

最後に、$\ell$ の傾きと $OP$ の傾きの積を計算します。

$$\left( -\frac{x}{y} \right) \left( \frac{y}{x} \right) = -1$$

2直線の傾きの積が $-1$ であるので、接線 $\ell$ と直線 $OP$ は直交します。

3. 最終的な答え

正