始線OX上の点A(2,0)を通り、始線に垂直な直線を$l$とする。点$P(r, \theta)$から$l$に下ろした垂線をPHとするとき、$\frac{OP}{PH} = \frac{1}{2}$を満たす点Pの軌跡を極方程式で表す。

1. 問題の内容

始線OX上の点A(2,0)を通り、始線に垂直な直線を$l$とする。点$P(r, \theta)$から$l$に下ろした垂線をPHとするとき、$\frac{OP}{PH} = \frac{1}{2}$を満たす点Pの軌跡を極方程式で表す。

2. 解き方の手順

点Aの座標は(2, 0)なので、直線$l$は$x = 2$である。

点$P(r, \theta)$から直線$l$に下ろした垂線PHの長さは、$PH = |2 - r\cos\theta|$となる。

条件$\frac{OP}{PH} = \frac{1}{2}$より、$OP = r$であるから、$\frac{r}{|2 - r\cos\theta|} = \frac{1}{2}$となる。

絶対値を外して考える。

$2r = |2 - r\cos\theta|$より、$2r = 2 - r\cos\theta$または、$2r = -2 + r\cos\theta$となる。

(1) $2r = 2 - r\cos\theta$の場合

$2r + r\cos\theta = 2$

$r(2 + \cos\theta) = 2$

$r = \frac{2}{2 + \cos\theta}$

(2) $2r = -2 + r\cos\theta$の場合

$2r - r\cos\theta = -2$

$r(2 - \cos\theta) = -2$

$r = \frac{-2}{2 - \cos\theta}$

$r$ は常に正である必要がある。$2 - \cos\theta$ は、$1 \le 2 - \cos\theta \le 3$であるから、常に正である。よって、$r = \frac{-2}{2 - \cos\theta}$ は条件を満たさない。

したがって、求める極方程式は、$r = \frac{2}{2 + \cos\theta}$となる。

3. 最終的な答え

$r = \frac{2}{2 + \cos\theta}$