三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあり、3直線AP, BQ, CRが1点Tで交わっている。AR:RB=2:1, BP:PC=t:(1-t)とする。 (1) CQ/QA を t を用いて表せ。 (2) t=1/4 のとき、面積比 △ABC:△BRT を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあり、3直線AP, BQ, CRが1点Tで交わっている。AR:RB=2:1, BP:PC=t:(1-t)とする。

(1) CQ/QA を t を用いて表せ。

(2) t=1/4 のとき、面積比 △ABC:△BRT を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

与えられた条件 AR:RB = 2:1, BP:PC = t:(1-t) より、

$$\frac{2}{1} \cdot \frac{t}{1-t} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$$\frac{CQ}{QA} = \frac{1-t}{2t}$$

(2) メネラウスの定理を三角形ABQと直線RCに適用すると

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BT}{TQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$$

$\frac{AR}{RB} = 2$ であり、(1)の結果より$\frac{CQ}{QA} = \frac{1-t}{2t}$だから

$\frac{CQ}{CA} = \frac{CQ}{CQ+QA} = \frac{1-t}{1-t+2t} = \frac{1-t}{1+t}$

したがって、

$$2 \cdot \frac{BT}{TQ} \cdot \frac{1-t}{1+t} = 1$$

$$\frac{BT}{TQ} = \frac{1+t}{2(1-t)}$$

$t = \frac{1}{4}$ のとき、$\frac{BT}{TQ} = \frac{1+\frac{1}{4}}{2(1-\frac{1}{4})} = \frac{\frac{5}{4}}{2\cdot\frac{3}{4}} = \frac{5}{6}$

ゆえに、$BT:TQ=5:6$

次に、△ABRに対して直線TCを考えると、メネラウスの定理より

$$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PT}{TA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$

$$\frac{BC}{CP} = \frac{BP+PC}{PC} = \frac{t+1-t}{1-t} = \frac{1}{1-t} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

$$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1} = 2$$

よって、

$$\frac{4}{3} \cdot \frac{PT}{TA} \cdot 2 = 1$$

$$\frac{PT}{TA} = \frac{3}{8}$$

$AP:PT=11:3$

ここで、△ABCにおいて、$\frac{AR}{AB} = \frac{AR}{AR+RB} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$, $\frac{BP}{BC} = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$なので、

$$\frac{S_{\triangleABR}}{S_{\triangleABC}} = \frac{AR}{AB} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{S_{\triangleBRT}}{S_{\triangleABR}} = \frac{BT}{BQ}$$

ここで、$\frac{BT}{BQ} = \frac{BT}{BT+TQ} = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$

したがって、

$$S_{\triangleBRT} = \frac{BT}{BQ} \cdot \frac{AR}{AB} \cdot S_{\triangleABC} = \frac{5}{11} \cdot \frac{2}{3} \cdot S_{\triangleABC} = \frac{10}{33}S_{\triangleABC}$$

よって、

$$\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleBRT}} = \frac{33}{10}$$

3. 最終的な答え

(1) CQ/QA = (1-t)/(2t)

(2) △ABC : △BRT = 33 : 10