ある町に、右図のような道があります。最短の道順は何通りあるか、という問題です。 (1) PからQまで行く。 (2) PからRを通ってQまで行く。

1. 問題の内容

ある町に、右図のような道があります。最短の道順は何通りあるか、という問題です。

(1) PからQまで行く。

(2) PからRを通ってQまで行く。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合：

PからQまで最短で行くには、右に4回、上に3回移動する必要があります。

したがって、合計7回の移動のうち、右に移動する4回を選ぶ組み合わせの数を求めれば良いです。

これは、組み合わせの数で表すことができ、${}_7 C_4$ となります。

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

(2) PからRを通ってQまで行く場合：

まず、PからRまで最短で行く方法を考えます。

PからRまで行くには、右に1回、上に2回移動する必要があります。

したがって、合計3回の移動のうち、右に移動する1回を選ぶ組み合わせの数を求めれば良いです。

これは、組み合わせの数で表すことができ、${}_3 C_1$ となります。

${}_3 C_1 = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$ 通り

次に、RからQまで最短で行く方法を考えます。

RからQまで行くには、右に3回、上に1回移動する必要があります。

したがって、合計4回の移動のうち、右に移動する3回を選ぶ組み合わせの数を求めれば良いです。

これは、組み合わせの数で表すことができ、${}_4 C_3$ となります。

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$ 通り

PからRを通ってQまで行くには、PからRまでの行き方とRからQまでの行き方を掛け合わせます。

$3 \times 4 = 12$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 35 通り

(2) 12 通り