3つの直線 $x+2=0$, $x-y-4=0$, $x+7y-12=0$ で作られる三角形について、その外心の座標と外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $x+2=0$, $x-y-4=0$, $x+7y-12=0$ で作られる三角形について、その外心の座標と外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3つの直線の交点を求め、三角形の頂点の座標を求めます。次に、外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点であるため、2つの辺の垂直二等分線を求め、その交点を求めます。最後に、外心から三角形の頂点までの距離を計算し、外接円の半径を求めます。

ステップ1: 三角形の頂点の座標を求める

- 直線1と直線2の交点:

$x+2=0$ より $x=-2$.

$x-y-4=0$ に代入して $-2-y-4=0$, よって $y=-6$.

交点Aは $(-2, -6)$.

- 直線1と直線3の交点:

$x+2=0$ より $x=-2$.

$x+7y-12=0$ に代入して $-2+7y-12=0$, よって $7y=14$, $y=2$.

交点Bは $(-2, 2)$.

- 直線2と直線3の交点:

$x-y-4=0$ より $x = y+4$.

$x+7y-12=0$ に代入して $(y+4) + 7y - 12 = 0$, よって $8y - 8 = 0$, $y=1$.

$x = y+4$ に代入して $x=5$.

交点Cは $(5, 1)$.

ステップ2: 外心の座標を求める

三角形ABCの外心をO(X,Y)とする。外心Oは三角形の各頂点からの距離が等しい。

$OA^2 = OB^2 = OC^2$ が成り立つ。

$OA^2 = (X+2)^2 + (Y+6)^2$

$OB^2 = (X+2)^2 + (Y-2)^2$

$OC^2 = (X-5)^2 + (Y-1)^2$

$OA^2 = OB^2$ より

$(X+2)^2 + (Y+6)^2 = (X+2)^2 + (Y-2)^2$

$(Y+6)^2 = (Y-2)^2$

$Y^2+12Y+36=Y^2-4Y+4$

$16Y=-32$

$Y=-2$

$OB^2 = OC^2$ より

$(X+2)^2 + (Y-2)^2 = (X-5)^2 + (Y-1)^2$

$(X+2)^2 + (-2-2)^2 = (X-5)^2 + (-2-1)^2$

$(X+2)^2 + 16 = (X-5)^2 + 9$

$X^2+4X+4 + 16 = X^2-10X+25 + 9$

$4X+20 = -10X+34$

$14X=14$

$X=1$

したがって、外心の座標は $(1, -2)$.

ステップ3: 外接円の半径を求める

外心から頂点までの距離を計算する。

$OA = \sqrt{(1+2)^2 + (-2+6)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$OB = \sqrt{(1+2)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$OC = \sqrt{(1-5)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

外接円の半径は

5.

3. 最終的な答え

外心の座標: $(1, -2)$

外接円の半径: $5$