円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線 $y = mx - 3$ が異なる2点で交わる時の定数 $m$ の値の範囲を求め、接する場合の定数 $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線 $y = mx - 3$ が異なる2点で交わる時の定数 $m$ の値の範囲を求め、接する場合の定数 $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を整理します。

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

$x^2 + (y-1)^2 - 1 = 0$

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

これは、中心 $(0, 1)$, 半径 $1$ の円を表します。

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が半径より小さいことです。

円の中心 $(0, 1)$ と直線 $y = mx - 3$, すなわち $mx - y - 3 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m(0) - (1) - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$

異なる2点で交わる条件は $d < 1$ なので、

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} < 1$

$4 < \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、$16 < m^2 + 1$

$m^2 > 15$

したがって、$m < -\sqrt{15}$ または $m > \sqrt{15}$

次に、接する場合を考えます。接する条件は、円の中心と直線の距離が半径に等しいことです。

$d = 1$ なので、

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

$4 = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、$16 = m^2 + 1$

$m^2 = 15$

したがって、$m = \pm \sqrt{15}$

$m = \sqrt{15}$ のとき、直線は $y = \sqrt{15}x - 3$ です。円の方程式と連立して、

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

$x^2 + (\sqrt{15}x - 3 - 1)^2 = 1$

$x^2 + (\sqrt{15}x - 4)^2 = 1$

$x^2 + 15x^2 - 8\sqrt{15}x + 16 = 1$

$16x^2 - 8\sqrt{15}x + 15 = 0$

$(4x - \sqrt{15})^2 = 0$

$x = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$y = \sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} - 3 = \frac{15}{4} - 3 = \frac{3}{4}$

接点の座標は $(\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{3}{4})$

$m = -\sqrt{15}$ のとき、直線は $y = -\sqrt{15}x - 3$ です。同様に、

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

$x^2 + (-\sqrt{15}x - 3 - 1)^2 = 1$

$x^2 + (-\sqrt{15}x - 4)^2 = 1$

$x^2 + 15x^2 + 8\sqrt{15}x + 16 = 1$

$16x^2 + 8\sqrt{15}x + 15 = 0$

$(4x + \sqrt{15})^2 = 0$

$x = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$y = -\sqrt{15} \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4}) - 3 = \frac{15}{4} - 3 = \frac{3}{4}$

接点の座標は $(-\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{3}{4})$

3. 最終的な答え

異なる2点で交わる $m$ の範囲: $m < -\sqrt{15}$ または $m > \sqrt{15}$

接する場合:

$m = \sqrt{15}$ のとき、接点の座標は $(\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{3}{4})$

$m = -\sqrt{15}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{3}{4})$