与えられた情報から円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が$(-2, 1)$で点$(1, -3)$を通る円の方程式 (2) 2点$(4, -2)$と$(-6, 2)$が直径の両端である円の方程式 (3) 中心が$(3, 4)$でx軸に接する円の方程式

1. 問題の内容

与えられた情報から円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が$(-2, 1)$で点$(1, -3)$を通る円の方程式

(2) 2点$(4, -2)$と$(-6, 2)$が直径の両端である円の方程式

(3) 中心が$(3, 4)$でx軸に接する円の方程式

2. 解き方の手順

(1) 円の中心$(-2, 1)$と円周上の点$(1, -3)$が与えられているので、円の半径$r$を求めます。

$r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

円の方程式は、中心$(a, b)$、半径$r$を用いて、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

と表されるので、求める円の方程式は

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$

(2) 2点$(4, -2)$と$(-6, 2)$が直径の両端なので、円の中心は2点の中点になります。中点の座標は、

$(\frac{4 + (-6)}{2}, \frac{-2 + 2}{2}) = (\frac{-2}{2}, \frac{0}{2}) = (-1, 0)$

円の半径$r$は、中心$(-1, 0)$と点$(4, -2)$の距離として求めることができます。

$r = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

円の方程式は、

$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{29})^2$

$(x + 1)^2 + y^2 = 29$

(3) 中心が$(3, 4)$でx軸に接する円の場合、円の半径は中心のy座標の絶対値に等しくなります。したがって、半径$r = |4| = 4$です。

円の方程式は、

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$

(2) $(x + 1)^2 + y^2 = 29$

(3) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$