2直線 $x - y + 1 = 0$ と $3x + 2y - 12 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求める問題です。 (1) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線 (2) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線

1. 問題の内容

2直線 $x - y + 1 = 0$ と $3x + 2y - 12 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求める問題です。

(1) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線

(2) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

まず、2直線 $x - y + 1 = 0$ と $3x + 2y - 12 = 0$ の交点の座標を求めます。

$x - y + 1 = 0$ より $y = x + 1$ なので、これを $3x + 2y - 12 = 0$ に代入すると、

$3x + 2(x + 1) - 12 = 0$

$3x + 2x + 2 - 12 = 0$

$5x - 10 = 0$

$5x = 10$

$x = 2$

$y = x + 1 = 2 + 1 = 3$

よって、交点の座標は $(2, 3)$ です。

(1) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線の方程式を求めます。

平行な直線は、$5x - 6y + k = 0$ と表せます。この直線が点 $(2, 3)$ を通るので、

$5(2) - 6(3) + k = 0$

$10 - 18 + k = 0$

$-8 + k = 0$

$k = 8$

よって、求める直線の方程式は $5x - 6y + 8 = 0$ です。

(2) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

直線 $5x - 6y - 8 = 0$ の傾きは $\frac{5}{6}$ なので、垂直な直線の傾きは $-\frac{6}{5}$ です。

よって、求める直線の方程式は $y - 3 = -\frac{6}{5}(x - 2)$ と表せます。

$5(y - 3) = -6(x - 2)$

$5y - 15 = -6x + 12$

$6x + 5y - 27 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $5x - 6y + 8 = 0$

(2) $6x + 5y - 27 = 0$