直角三角形ABCにおいて、$\angle C = 90^\circ$, $AC = 5$, $BC = \sqrt{11}$とする。$\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$とするとき、以下の三角比の値を求めよ。 (1) $\sin \alpha$ (2) $\cos \alpha$ (3) $\tan \alpha$ (4) $\sin \beta$ (5) $\cos \beta$ (6) $\tan \beta$

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle C = 90^\circ$, $AC = 5$, $BC = \sqrt{11}$とする。$\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$とするとき、以下の三角比の値を求めよ。

(1) $\sin \alpha$

(2) $\cos \alpha$

(3) $\tan \alpha$

(4) $\sin \beta$

(5) $\cos \beta$

(6) $\tan \beta$

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABCの斜辺ABの長さを求める。ピタゴラスの定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 5^2 + (\sqrt{11})^2 = 25 + 11 = 36$

$AB = \sqrt{36} = 6$

(1) $\sin \alpha$ は、$\sin \alpha = \frac{BC}{AB}$ で求められる。

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$

(2) $\cos \alpha$ は、$\cos \alpha = \frac{AC}{AB}$ で求められる。

$\cos \alpha = \frac{5}{6}$

(3) $\tan \alpha$ は、$\tan \alpha = \frac{BC}{AC}$ で求められる。

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{11}}{5}$

(4) $\sin \beta$ は、$\sin \beta = \frac{AC}{AB}$ で求められる。

$\sin \beta = \frac{5}{6}$

(5) $\cos \beta$ は、$\cos \beta = \frac{BC}{AB}$ で求められる。

$\cos \beta = \frac{\sqrt{11}}{6}$

(6) $\tan \beta$ は、$\tan \beta = \frac{AC}{BC}$ で求められる。

$\tan \beta = \frac{5}{\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$

(2) $\cos \alpha = \frac{5}{6}$

(3) $\tan \alpha = \frac{\sqrt{11}}{5}$

(4) $\sin \beta = \frac{5}{6}$

(5) $\cos \beta = \frac{\sqrt{11}}{6}$

(6) $\tan \beta = \frac{5\sqrt{11}}{11}$