点Pから円に引いた2直線が円と点A, B, C, Dで交わる。CP = 13, DP = 12, AD = x, BC = y, ∠ABP = 90°, AD = 2CDであるとき、xとyの値を求める。

1. 問題の内容

点Pから円に引いた2直線が円と点A, B, C, Dで交わる。CP = 13, DP = 12, AD = x, BC = y, ∠ABP = 90°, AD = 2CDであるとき、xとyの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を利用する。

方べきの定理より、

$PA \times PB = PC \times PD$

$(x+12)(y+13) = 13 \times 12$

$(x+12)(y+13) = 156$　… (1)

ここで、∠ABP = 90°より、APが円の直径となる。

また、AD = 2CDより、弧AD = 2弧CD。

したがって、∠ACD = ∠ABD。

円周角の定理より、∠ABD = ∠ACDであり、∠ABD = 1/2 ∠APD。

$\angle ACB = \angle ADB$である。

AD = 2CDより、$CD = x/2$。

したがって、方べきの定理より

$PC \times PD = PA \times PB$

$PA = \sqrt{x^2 + y^2}$

ここで、PC * PB = 13 * (12+x/2) = PC * PD

方べきの定理より、

$PA \times PB = PC \times PD$

$(x + 12) (y + 13) = 13 \times 12$　… (1)

∠ABP = 90°より、APが円の直径。

よって、∠ADP = 90°より、△ADPは直角三角形。

この時、$AP^2 = AD^2 + DP^2 = x^2 + 12^2$

$AP^2 = x^2 + 144$

$\angle CBP = 90°$より、$CP$が円の直径。

よって、$CP^2 = BC^2 + BP^2$より、$13^2 = y^2 + BP^2$

$169 = y^2 + BP^2$

CD = x/2。

したがって、

$PC \times PB = PA \times PB$

$(13)(13+y) = (12)(12+x)$

$169 + 13y = 144 + 12x$

$13y - 12x = -25$… (2)

また、問題文より$AD = 2CD = x$。

(1)より $(PA)(PB) = (PC)(PD) = (13)(12) = 156$

$13(PC)=13(13) =169$

$PB=\sqrt{13^2-BC^2}$

∠ABP = 90°なので、APは円の直径となり、ADが弦であることから∠ADP=90°

DP=12より、円の直径(AP)を計算できる

(2)より$13y=12x-25$, $y = \frac{12x-25}{13}$。

この式を(1)へ代入して解く。

$(x+12)(y+13)=156$

$(x+12)(\frac{12x-25}{13}+13)=156$

$(x+12)(\frac{12x-25+169}{13})=156$

$(x+12)(12x+144)=156*13=2028$

$12x^2+144x+144x+1728=2028$

$12x^2+288x-300=0$

$x^2+24x-25=0$

$(x+25)(x-1)=0$

$x=-25,1$

x>0より$x=1$

$y=\frac{12(1)-25}{13} = -1$

y>0より,上の計算方法が異なる。

$\angle ABP = 90°$より、$PB=\sqrt{13^2-y^2}$

PA*PB= PC*PDよりAPが円の直径となり、$PA^2 = AD^2 + DP^2$

AP*PB=PC*PD = 12*13=156より

(1)を利用$PA*PB=156$

（2）$13y-12x = -25$

$12x=13y+25$

3. 最終的な答え

x = 1

y = -1