四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。辺ABを4:5に内分する点をD, 辺OCを2:1に内分する点をEとし、線分DEの中点をP, 直線OPが平面ABCと交わる点をQとする。 (1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。また、$|OP|:|OQ|$ を最も簡単な整数比で表せ。 (2) $\triangle ABQ$ と $\triangle ABC$ の面積比 $\triangle ABQ : \triangle ABC$ を最も簡単な整数比で表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。辺ABを4:5に内分する点をD, 辺OCを2:1に内分する点をEとし、線分DEの中点をP, 直線OPが平面ABCと交わる点をQとする。

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。また、$|OP|:|OQ|$ を最も簡単な整数比で表せ。

(2) $\triangle ABQ$ と $\triangle ABC$ の面積比 $\triangle ABQ : \triangle ABC$ を最も簡単な整数比で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Dと点Eの位置ベクトルを求めます。

点Dは辺ABを4:5に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}}{5+4} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

点Eは辺OCを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}\vec{c}$

点Pは線分DEの中点なので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE}}{2} = \frac{1}{2}(\frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}) = \frac{5}{18}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

次に、点Qが平面ABC上にあることから、$\overrightarrow{OQ} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ (s, t, uは実数)と表され、かつ $s+t+u = 1$ が成り立ちます。また、点Qは直線OP上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$ (kは実数)と表されます。したがって、

$\overrightarrow{OQ} = k(\frac{5}{18}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{5k}{18}\vec{a} + \frac{2k}{9}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c}$

これより、$s = \frac{5k}{18}$, $t = \frac{2k}{9}$, $u = \frac{k}{3}$ となります。

$s+t+u = 1$ なので、

$\frac{5k}{18} + \frac{2k}{9} + \frac{k}{3} = 1$

$\frac{5k + 4k + 6k}{18} = 1$

$\frac{15k}{18} = 1$

$15k = 18$

$k = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}$

したがって、$\overrightarrow{OQ} = \frac{6}{5}\overrightarrow{OP}$ より、 $|OQ| = \frac{6}{5}|OP|$ なので、

$|OP| : |OQ| = 1 : \frac{6}{5} = 5 : 6$

(2)

$\overrightarrow{OQ} = \frac{6}{5}\overrightarrow{OP}$より、$Q$は直線$OP$上にある。$\overrightarrow{OQ} = \frac{6}{5}(\frac{5}{18}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$ であるから、

$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比は、$\frac{\triangle ABQ}{\triangle ABC} = \frac{u}{1 - s - t} = \frac{2/5}{1/3 + 4/15 + 2/5} = \frac{2/5}{1} = |\frac{\overrightarrow{OQ}\times \overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}}| = \frac{CQ}{OC} = \frac{|OQ|}{|OP|}$ となるわけではない。

$s = \frac{1}{3}$なので、点Qは線分ACを$t:u = 4/15:2/5 = 4:6 = 2:3$に内分する点ではない。

点Qは平面ABC上の点なので、$\overrightarrow{AQ}= x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$ (x, yは実数)と表せる。すると、$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC} = \vec{a} + x(\vec{b} - \vec{a}) + y(\vec{c} - \vec{a}) = (1-x-y)\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{c}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$と比較すると、

$1-x-y = \frac{1}{3}$

$x = \frac{4}{15}$

$y = \frac{2}{5}$

$x+y = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

したがって、$\overrightarrow{AQ} = \frac{4}{15}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ を用いると、

$\triangle ABQ = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AQ}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times (\frac{4}{15}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC})| = \frac{1}{2}|\frac{2}{5}\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{2}{5} (\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|) = \frac{2}{5}\triangle ABC$

したがって、$\triangle ABQ : \triangle ABC = \frac{2}{5} : 1 = 2 : 5$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{5}{18}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$, $|OP|:|OQ| = 5:6$

(2) $\triangle ABQ : \triangle ABC = 2:5$